Diario delle Esercitazioni (a cura di Carmelo Finocchiaro)
Settimana 1:Richiami
sulle condizioni sufficienti per l'irriducibilità di un
polinomio, grado di un elemento algebrico, ricerca di una base per estensioni semplici.
Come ci si riconduce a estensioni semplici? Esercizi per casa Settimana 2: Ampliamenti della
forma Q(³√a, √b). Campi di spezzamento: primi esempi. Campi finiti
costruiti con quozienti del tipo Fp[X]/(f(X)), con f(X)
irriducibile in Fp[X]. Esercizi per casa Settimana
3: Applicazioni della condizione di
irriducibilità di Eisenstein a polinomi con coefficienti in un
campo di funzioni razionali. Campi di spezzamento su estensioni finite di
Q. Ricerca delle soluzioni di equazioni in estensioni semplici di Fp e campi di spezzamento su Fp. Esercizi per casa
Settimana 4: Automorfismi
di estensioni finite di campi finiti. Q-immersioni in C di un campo numerico di
grado alto su Q ottenute
estendendo progressivamente le Q-immersioni di sottocampi di K. Esercizi di
ricapitolazione su estensioni finite, elementi algebrici e trascendenti e
campi di spezzamento. Esercizi per casa Settimana 5:
Esempi di gruppi di
Galois isomorfi a S3 e a Z2 × Z2. Ricerca del
polinomio minimo di opportuni elementi in campi ciclotomici. Esercizi
sul calcolo di Q-$immersioni e di Q-automorfismi di alcune estensioni
di Q. Esercizi per casa Settimana 6: Identificazione del
gruppo di Galois di un polinomio irriducibile di
grado n con un sottogruppo di Sn. Come stabilire se
un'estensione di
campi è normale. Esercizi di riepilogo sul calcolo del gruppo di
Galois. Svolgimento di alcuni esercizi assegnati per casa la settimana
precedente. Prima prova di
valutazione intermedia.
Settimana 7:
Identificazione di automorfismi con
permutazioni. Costruzione di un
isomorfismo esplicito fra il gruppo di Galois del polinomio X^3-p
su Q (p primo) ed S3. Esempi
di campi fissi di un
automorfismo e di una famiglia di automorfismi. Il coniugio complesso e
il
campo fisso della sua restrizione a un campo ciclotomico. La
corrispondenza di Galois per il settimo ampliamento ciclotomico. Esercizi
per casa
Settimana 8: Lezione non tenuta per la
festività del 25 Aprile. Esercizi
per casa Settimana 9: Lezione
non tenuta, da recuperare.
Settimana
10: Applicazioni della corrispondenza di Galois
per la ricerca dei campi
intermedi di campi di spezzamento su Q di alcuni polinomi
biquadratici. Espressione di gruppi di Galois con il prodotto diretto o
semidiretto di loro sottogruppi. Qualche osservazione su come si
può
ricercare un elemento primitivo del campo fisso di un
automorfismo.
Applicazione al caso del tredicesimo ampliamento ciclotomico.
Svolgimento di alcuni esercizi assegnati per casa. Esercizi
per casa
Settimana
11: Quando il gruppo di Galois di un
polinomio separabile di grado n si
immerge in An?
Conseguenze per i polinomi biquadratici. Il
quindicesimo ampliamento ciclotomico di Q: descrizione del gruppo
di Galois come prodotto diretto di gruppi noti, sottocampi reali.
Esempi di gruppi risolubili e di ampliamenti radicali. Un ampliamento
di Galois infinito. La corrispondenza di Galois per F16/F2. Esercizi
per casa
Settimana 12: Esercizi
di riepilogo sulla corrispondenza di Galois, campi fissi, e
sottocampi normali. Il gruppo di Galois del campo di spezzamento
di
polinomi riducibili e separabili. Esercizi di ricapitolazione sui campi
finiti.