Dipartimento di Matematica
Roma TRE
AL4 - Numeri Algebrici
a.a. 2006/2007 - II Semestre
Diario delle Lezioni
Settimana 1 (19 - 21 Febbraio): Introduzione storica al corso.
Numeri
algebrici. Ampliamenti algebrici semplici di un campo numerico. Ampliamenti quadratici.
Ampliamenti ciclotomici. Ampliamenti
finitamente generati. Il Teorema dell'Elemento Primitivo. Esempi.
Esercizi
Settimana 2 (26 - 28
Febbraio):
Polinomi simmetrici. Il teorema fondamentale e alcune sue conseguenze.
Il polinomio generale. Il discriminante di un polinomio. Formule per il
calcolo del discriminante.
Elementi coniugati. Immersioni di un
campo numerico in C. Discriminante di un campo numerico rispetto ad una
base. Cambiamenti di base. Discriminanti di ampliamenti quadratici e
ciclotomici.
Esercizi
Settimana 3
( 5 - 7 Marzo):
L'anello
degli interi algebrici di un campo numerico. Anelli di interi
quadratici.
Norma e Traccia di un numero algebrico. L'anello degli interi del
p-esimo ampliamento ciclotomico.
Settimana 4 (14 - 16 Marzo):
Moduli e loro omomorfismi.
Moduli liberi: la nozione di rango. Gruppi abeliani finitamente
generati e gruppi liberi.
Definizioni equivalenti di intero algebrico. Basi intere. Cambiamento
di basi intere. Il discriminante di un campo di numeri.
Esercizi
Settimana 5
(19 - 21 Marzo):
Sottogruppi
e quozienti di gruppi
finitamente generati e gruppi liberi. Un algoritmo per la ricerca di basi
intere. Calcolo di esempi.
Esercizi
Settimana 6 (26 -
28 Marzo):
Proprietà
aritmetiche di un dominio. Domini euclidei, principali, di Bezout, a
fattorizzazione unica, con massimo comune divisore. Il caso
noetheriano. Elementi primi e invertibili di Z[i].
3 Aprile: Prima prova di
valutazione.
Settimana 7
(18 - 20 Aprile):
Domini di Dedekind. Gli
anelli di interi algebrici sono domini di Dedekind. Proprietà
aritmetiche degli anelli di interi algebrici. Un criterio perché un anello di interi
algebrici sia euclideo rispetto al modulo della norma o a
fattorizzazione unica. Come effettuare la divisione col resto in un
anello euclideo di interi quadratici. Il gruppo delle
unità di un anello di interi quadratici.
Settimana 8
(27 Aprile): Il teorema
delle unità di Dirichlet (enunciato ed esempi). Norma di un ideale: definizioni
equivalenti e prime proprietà.
Esercizi
Settimana 9 (2
e 4 Maggio):
La norma di un ideale primo.
Esistono un numero finito di ideali con norma fissata. Ogni ideale
è contenuto in un numero finito di ideali (primi). Ideali
frazionari e ideali invertibili. In un anello di interi algebrici, ogni
ideale non nullo è invertibile ed ogni ideale proprio è
prodotto di ideali primi univocamente determinati. Il gruppo delle
classi di ideali. Un
anello
di interi algebrici è a
fattorizzazione unica se e soltanto se il suo gruppo delle classi
è banale.
Esercizi
Settimana
10 (7 e 9 Maggio): Ideali in
anelli di interi quadratici: norma e basi intere. Ricerca di ideali di
norma prima. Cenni sulla teoria delle congruenze
quadratiche: il simbolo di Legendre. Il problema della
ramificazione: esempi di primi inerti, ramificati e decomposti in anelli di interi
quadratici.
Esercizi
Settimana 11 (16 e 18 Maggio): Ancora sulla
ramificazione in anelli di interi
quadratici. Il simbolo di Kronecker. Elementi
rappresentati da forme quadratiche. Il gruppo delle
classi di un dominio di Dedekind. Finitezza
del gruppo delle classi di un anello di interi algebrici (La costante
di Minkowsky). Primi regolari. Calcolo di esempi.
Settimana 12 (23 Maggio):
Ogni ideale di un dominio di
Dedekind è (1 e 1/2)-generato. Ampliamenti di anelli
di interi algebrici. Estensione e contrazione di ideali. Come rendere
gli ideali principali.