Dipartimento di Matematica

• La prova di valutazione scritta in aula e' fissata per

  GIOVEDI' 10 GENNAIO 2008,  ORE 10

  e consistera' nella preparazione di un elaborato su un argomento rilevante tra quelli trattati durante il corso.

• Inizio delle lezioni martedì 25 Settembre 2007.
  

I Settimana.

Introduzione al corso. Teoria di Dedekind e teoria di Kronecker a confronto. Valutazioni e superficie di Riemann astratte.

Richiami sugli anelli locali e localizzazioni. Esempi

II Settimana.

Dipendenza integrale tra anelli e normalizzazione di anelli integri. Prime proprieta'. Stabilita' della chiusura integrale rispetto a varie operazioni tra anelli. Esempi e controesempi.

Gruppi ordinati. Esempi. Valutazioni e valutazioni discrete ed esempi.  Valori assoluti e collegamento con la teoria classica delle valutazioni con gruppo di valori reale (valutazioni di rango 1). Equivalenza di valutazioni. Esempi.

III Settimana.

Dato un gruppo abeliano (totalmente) ordinato esiste sempre un anello di valutazione avente gruppo dei valori il gruppo ordinato assegnato. Anello associato ad una valutazione. Anello di valutazione e prime proprieta'. Corrispondenza biunivoca tra anelli di valutazioni e classi di valutazioni equivalenti.  Gruppi di divisibilita', gruppi ordinati filtrati e gruppi ordinati reticolari. Sopranelli di valutazione ed ideali primi dell'anello di valutazione. Sottogruppi isolati del gruppo dei valori e spettro primo di un anello di valutazione.

IV Settimana.

Lemma (x, x^{-1}). Anelli di valutazione come elementi massimali nell'insieme dei domini locali ordinati per dominanza. Teorema di Krull sulla chiusura integrale.

Estensioni di valutazioni in ampliamenti algebrici finiti. indici di ramificazione e gradi residui.

V Settimana.

Estensioni finite di campi, estensioni di valutazioni e disuguaglianza e(w, v) f(w, v) \leq [E:K].

Posti. Composizioni di posti. Esempi. Posti equivalenti, anelli di valutazione, valutazioni equivalenti.

Valutazioni discrete. Uniformizzante. Fattorizzazione unica rispetto al parametro uniformizzante. Valutazioni discrete normalizzate.

VI Settimana.

Posti, posti equivalenti. Composizione di posti. Esempi. Valutazioni, anelli di valutazione e posti. Cenni sui completamenti di valutationi

VII Settimana.

Un Teorema di approssimazione per una famiglia finita di valutazioni discrete. La disuguaglianza \Sum_i e_i(v_i, v) \leq [E:K].

Ideali frazionari, Ideali frazionari invertibili. Ideali invertibili ed ideali finitamente generati. Ideali invertibili ed ideali principali: caso di un dominio locale. Conduttore di un sopraanello di un dominio. Ideali finitamente generati, ideai invertibili ed ideali localmente principali. Domini di Pruefer e domini di Bezout. domini di Dedekind e domini ad ideali pricipali. Esempi e controesempi.

VIII Settimana.

Domini di Pruefer come domini localmente di valutazione. Ulteriori caratterizzazioni dei domini di Pruefer. Sopranelli locali e non di domini di Pruefer. Anelli di valutazione di K(X) che sono algebre sopra il campo K.

IX Settimana.

Intersezioni finite di anelli di valutazione inconfrontabili. Domini di Pruefer semilocali e domini di Bezout. Introduzione alle superficie di Riemann astratte (secondo Zariski). Caso di un campo di funzioni algebriche di dimensione 1 su un campo algebricamente chiuso.

Superficie di Riemann astratte e topologia di Zariski. Esempi. Principali proprieta' topologiche di una superficie di Riemann astratta.

X Settimana.

Proprieta' topologiche di una superficie di Riemann astratta. Estensione di Olberding di una superficie di Riemann astratta.

Introduzione agli anelli di funzioni di Kronecker. Anello di Nagata. Operazioni star ed operazioni star e.a.b. di Krull. La v-operazione e la b-operazione. L'anello delle funzioni di Kronecker rispetto ad un'operazione star e.a.b. e' un dominio di Bezout.

XI Settimana.

Sopraanelli e sopraanelli locali (di valutazione) di un anello delle funzioni di Kronecker. Estensioni banali di valutazioni ed anello di valutazione V(X) estensione banale dell'anello di valutazione V. Lo spazio Zar(D) e' uno spazio spettrale omeomorfo a Spec(Kr(\overline{D}, b)).

XII Settimana. Seminari di approfondimento sulla teoria delle ramificazioni e sull'uguaglianza \Sum_i e_i(v_i, v) \leq [E:K]. Considerazioni di fine corso.