Dipartimento di Matematica

Roma TRE


 

Ultimo aggiornamento       10 Gennaio 2011

AL410 - Algebra commutativa
A.A. 2010/2011 - I Semestre

Docente: Marco Fontana

 
DM, Stanza 204 tel. 06 5733 8232

e-mail: fontana(at)mat.uniroma3.it

 

  

 

 

Sommario

  • Preiscrizione ed Iscrizione telematica al corso: obbligatoria              web studenti 
  • Orario delle lezioni: LU ore 11-13, GI ore 14-16  

    per lezioni di recupero o seminari MA ore 14-16

  • Orario di ricevimento (I Semestre 2010/11): LU ore 13:30-15

    Scheda del corso (dal Diploma Supplement)

    Avvisi - Bacheca elettronica del corso

    Diario delle lezioni

    Appunti on-line di corsi di introduzione all’algebra commutativa ed altri links utili

    Valutazione in itinere - Seminari - Esoneri

    Programma d'esame 

    Calendario e Prove d'esame 

 

 

  

Scheda del corso

Moduli. Ideali. Anelli e moduli di frazioni. Anelli locali. Anelli e moduli noetheriani. Teorema della base (BasisSatz) di Hilbert. Dipendenza integrale. Anelli di valutazione. Teorema di Krull (chiusura integrale e valutazioni). Teorema degli zeri (NullstellenSatz) di Hilbert. Domini di Dedekind. Anelli e moduli artiniani. Spettro primo di un anello e topologia di Zariski.

Ulteriori argomenti potranno essere svolti in accordo con gli studenti frequentanti.
Il corso è rivolto agli studenti della laurea triennale e magistrale ed è particolarmente indicato per coloro che intendano approfondire tematiche di algebra, geometria algebrica e teoria dei numeri.


 

  

Crediti: 7                                                           I Semestre                                             Prerequisiti: AL210 (ex-AL2)

                                        
Insegnamento valido per la PFA (Prova Fine di tipo A)

  

 

Bibliografia essenziale

  • M.F. Atiyah - I.G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, 1969. Edizione in italiano con note di P.Maroscia, Feltrinelli, 1981.
  • H. Li, An introduction to commutative algebra (from the viewpoint of normalization), Word Scientific Publishing Company, 2004.

Ulteriori riferimenti bibliografici

  • Nicolas Bourbaki, Algèbre Commutative, Chapitres 1-9, Hermann, Paris, 1961 ....
  • Arthur Chatters, C. R. Hajarnavis, Charudatta Hajarnavis, An Introductory Course in Commutative Algebra, Oxford Univ Press, 1998.
  • David A. Cox, John B. Little, Donal O'Shea, Ideals, Varieties, And Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry And Commutative Algebra, Springer Verlag, 2007.
  • D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer, 1995.
  • R. Gilmer, Multiplicative Ideal theory, Dekker, New York, 1972.
  • I. Kaplansky, Commutative rings (revised edition), The University of Chicago Press, Chicago, 1974.
  • Manfred Knebusch, Digen Zhang, Manis Valuations and Prufer Extensions I: A New Chapter in Commutative Algebra, Springer 2002.
  • E. Kunz, Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Bikhauser, Berlin, 1985.
  • H. Matsumura, Commutative Algebra,W. A. Benjamin, 1970.
  • H. Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1989.
  • M. Reid, Undergraduate commutative algebra, LMS Student Texts, Cambridge 1995.
  • R.Y. Sharp, Steps in commutative algebra, London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.
  • I. Swanson, C. Huneke: Integral closure of ideals, rings, and modules. Cambridge Univ. Press, 2006.
  • John J. Watkins, Topics in Commutative Ring Theory, Princeton University Press, 2007.
  • O. Zariski and P. Samuel, Commutative Algebra, Van Nostrand, 1958-1960 (reprinted, Springer 1975-1977)

 

 

 

 

  

 

 Avvisi - Bacheca elettronica del corso                             

   

  • La verbalizzazione della votazione ottenuta tramite la valutazione in itinere avra' luogo lunedi' 17 gennaio, ore 15:30.
  • IMPORTANTE: E' obbligatorio prenotarsi all'esame sul sito di Ateneo, per avere la stampa del verbale d'esame precompilato.
 

 

Avvisi precedenti

  • La seconda prova di valutazione in itinere avra' luogo il 5 Gennaio 2011, ore 10.

Prenotazione obbligatoria sul web studenti (entro 28 Dicembre).   web studenti

  • Nella settimana 29 Novembre - 3 Dicembre la lezione si terrà LU 29/11 ore 11-13; giovedì 2 Dicembre, come già preannunciato non ci sarà lezione.
  • L'orario delle lezioni della settimana 15-20 Novembre resta LU 11-13, GI 14-16.  Mentre, la settimana successiva 22-27 Novembre, l'orario delle lezioni sarà, come richiesto, MA 14-16 e GI 14-16.
  • Lunedì 18 Novembre alle 10:30, Aula 009, avrà luogo la Priva Prova di Valutazione in itinere (I Esonero) e consisterà di un tema e di alcuni esercizi.
  • Iscrizione telematica al corso (conferma della pre-iscrizione telematica) obbligatoria sul web studenti (entro il 5 Ottobre).   web studenti
  • Inizio delle lezioni e riunione organizzativa: lunedì 20 Settembre 2010, ore 11:15.
  • Pre-iscrizione telematica al corso obbligatoria sul web studenti (entro il 17 Settembre).   web studenti
 

 

  Diario delle lezioni

I Settimana.

Introduzione al corso. Richiami sulla teoria degli anelli ed omomorfismi nel caso di anelli commutativi unitari.

Ideali, ideali primi e massimali. Ideali finitamente generati, ideali principali. Divisori dello zero, idempotenti, nilpotenti, elementi inversibili. Anelli locali: esempi e criteri.

 

  

II Settimana.

Parti moltiplicative e parti moltiplicative saturate. Ideali massimali nell'insieme degli ideali disgiunti da una parte moltiplicativa. Caratterizzazione delle parti moltiplicative saturate.

Localizzazioni. Esempi. Divisori dello zero e parti moltiplicative.  Ideali ed ideali primi in un anello di frazioni. Esempi.

 

III Settimana.

Un dominio e' un UFD se e soltanto se ogni ideale primo contiene un elemento primo.

Anelli noetheriani. Ideali massimali nell'insieme degli ideali non finitamente generati. Teorema di I.S.Cohen (1950): un anello e' noetheriano se e soltanto se ogni ideale primo e' finitamente generato.

Nilradicale e radicale primo (o radicale dell'ideale (0)). Anello ridotto ed ideali primi di un anello ridotto.

Radicale di Jacobson. Esempi e prime proprieta'. Operazioni tra ideali ed esempi.

Distributivita' delle operazioni tra ideali. Teorema Cinese dei Resti per anelli commutativi e caso classico nell'anello degli interi.

  

IV Settimana.

Moduli su un anello. Esempi e prime proprieta'.  Hom_A(M, N) e dualita'. Moduli finitamente generati. Moduli liberi. Teorema fondamentale di omomorfismo tra moduli.

Teorema di Cayley-Hamilton per A-moduli finitamente generati. Lemma di Nakayama: varie formulazioni.

Prodotto tensoriale di moduli: proprieta' universale e sua costruzione. Prime proprieta' del prodotto tensoriale ed esempi.

  

V Settimana.

Alcuni esempi di prodotto tensoriale: caso del prodotto tensoriale su Z di Z/nZ con Z/mZ. Topologia di Zariski nello spazio affine su un campo. La topologia di Zariski sullo spettro primo di un anello: chiusi, aperti e base di aperti quasi-compatti. Applicazioni spettrali: continuita', immersioni aperte e chiuse. Chiusura di un sottospazio dello spettro primo.

 

VI Settimana.

Punti chiusi e sottospazi irriducibili di Spec(A). Spec(A) e' uno spazio T_0 , ma non T_1. Quasi-compattezza. Composizione di applicazioni spettrali associate ad omomorfismi di anelli. Densita' dell'immagine nella applicazione spettrale associata ad un omomorfismo iniettivo.

Dipendenza integrale. Chiusura integrale. Caratterizzazioni degli elementi interi. Esempi e controesempi.

  

VII Settimana.

Dipendenza integrale. La chiusura integrale e' integralmente chiusa. Proprieta' delle estensioni intere: stabilita' per passaggio agli anelli-quoziente ed agli anelli di frazioni.

  

VIII Settimana.

Estensioni intere ed ideali massimali. Teorema del "Lying Over" e Teorema del "Going-Up" di Cohen-Seidenberg.

Cenni al Teorema dell'Incomparabilità ed al Teorema del "Going-down".

Per ogni dominio D si ha  D = ∩ D_M, M ideale massimale di D. Un dominio e' integralmente chiuso se e soltanto se lo e' localmente. Anelli di valutazione. Prime proprieta' ed esempi. Sopraanelli di anelli di valutazione. Anelli di valutazione ed anelli integralmente chiusi.  Lemma u, u^{-1}.

 

IX Settimana.

Anelli di valutazione ed elementi massimali negli insiemi di domini locali. Teorema di Krull: un dominio integralmente chiuso e' intersezione dei suoi sopraanelli di valutazione.

Introduzione al Teorema degli zeri di Hilbert.

 

X Settimana.

Teorema degli zeri di Hilbert (forma "debole"): prima dimostrazione del teorema utilizzando il teorema di normalizzazione di Noether (cenni).

 

XI Settimana.

G-domini. prime proprieta' e caratterizzazioni. Ideali primi di Goldman e loro caratterizzazioni. Anellii di Hilbert (o, di Jacobson, nella terminologia di Bourbaki): principali proprieta' ed esempi. Seconda dimostrazione (completa) del Teorema degli zeri di Hilbert (forma "debole" e forma "forte"), utilizzando gli anelli di Hilbert.

 

XII Settimana.

Valutazioni discrete ed anelli associati. Un anello di valutazione discreta e' associato ad una valutazione discreta. Domini di valutazione discreta e domini di Dedekind. Esempi. In un dominio di Dedekind ogni ideale proprio possiede una presentazione come prodotto di un numero finito di ideali potenze di ideali primi (=massimali). Esempi. Ogni PID e' un Dominio di Dedekind.

  


 

  Appunti on-line di corsi di introduzione all’algebra commutativa ed altri links utili                              

 

I. Fesenko: Commutative algebra  
This course is an introduction to modules over rings, Noetherian modules, unique factorization domain and polynomial rings over them, modules over principal ideal domains, localization [pdf file 202K].

R.B. Ash: A course in commutative algebra 

Preface Table of Contents

Chapter 0 Ring Theory Background (7 pp.)

Chapter 1 Primary Decomposition and Associated Primes (15 pp.)

Chapter 2 Integral Extensions (9 pp.)

Chapter 3 Valuation Rings (9 pp.)

Chapter 4 Completion (10 pp.)

Chapter 5 Dimension Theory (15 pp.)

Chapter 6 Depth (4 pp.)

Chapter 7 Homological Methods (8 pp.)

Chapter 8 Regular Local Rings (3 pp.)

Exercises (7 pp.)

Solutions (8 pp.)

List of Symbols

Index

Sudhir R. Ghorpade: Commutative Algebra Lecture Notes  

Contents

1 Rings and Modules 3
1.1 Ideals and Radicals 3
1.2 Polynomial rings and Localization of rings 8
1.3 Modules 11
1.4 Zariski Tolpology 12
Exercises 14
2 Noetherian Rings 17
2.1 Noetherian Rings and Modules 17
2.2 Primary Decomposition of Ideals 19
2.3 Artinian Rings and Modules 23
2.4 Krull's Principal Ideal Theorem 27
Exercises 14
3 Integral Extensions 32
3.1 Integral Extensions 32
3.2 Noether Normalization 35
3.3 Finiteness of Integral Closure 38
Exercises 42
4 Dedekind Domains 44
4.1 Dedekind Domains 45
4.2 Extensions of Primes 50
Exercises 42
A Appendix: Primary Decomposition of Modules 55
A.1 Associated Primes of Modules 55
A.2 Primary Decomposition of Modules 58
Exercises 62
References

C. Procesi: Algebra Commutativa 

Appunti di Algebra commutativa (versione 23-5-2002)

Contenuto: Teoria della dimensione; Grado di Trascendenza; Polinomi di Hilbert; Dimensione di Krull; Anelli regolari e singolari; Molteplicitµa. Successioni regolari ad anelli di Cohen-Macaulay; Completamenti. Metodi omologici; Introduzione agli schemi; Topologa di Zariski; Fasci di anelli e moduli; Il linguaggio dei funtori; Discesa fedelmente piatta. Morfismi étale, piatti e lisci; Differenziali algebrici; Algebre étale; Anelli Henseliani; Introduzione alle topologie di Grothendieck; La topologia étale.

R. Strano: Appunti di Algebra Commutativa


D. R. Wilkins (Trinity College, Dublin ): Topics in Commutative Algebra     .pdf 


A. Chambert-Loir (Université de Rennes ): Algèbre commutative, Cours de master de mathématiques     .pdf

 

M. Barile (Università di Bari): Appunti di Algebra Commutativa   

       

 


 

Valutazione in itinere - seminari - "esoneri"                               

La valutazione del profitto verrà  effettuata di preferenza durante il semestre. Gli studenti frequentanti saranno invitati ad effettuare almeno un seminario di approfondimento su tematiche collegate a quelle svolte a lezione. Inoltre,  sono previste una prova scritta a metà semestre ed una prova scritta a fine semestre.

Gli studenti che hanno sostenuto con esito positivo, nel corso del semestre, le prove di valutazione parziale (seminari e prove scritte) accedono direttamente al colloquio di verbalizzazione del voto proposto dal docente, da effettuarsi durante la I Sessione di esame (Appello A o B ).

Per tutti gli studenti che non si avvalgono della possibilità della valutazione del profitto durante il corso, l'esame finale consiste in una prova scritta (comprendente anche domande di tipo teorico) o/e orale.

 

I Prova scritta di valutazione in classe

  

  testo e soluzioni degli esercizi

 valutazione

II Prova scritta di valutazione in classe

 

testo e soluzioni degli esercizi

 

valutazione finale

                            

Seminari                              

   

Argomenti da assegnare

  • 14 Ottobre 2010 - Dario Spirito : Ideali primi in anelli di polinomi
    [ I. Kaplansky "Commutative rings ", pp. 25-27]
  • 21 Ottobre 2010 - Annamaria Iezzi : Sottomoduli e moduli-quoziente. Operazioni tra moduli. Successioni esatte
    [ M.F. Atiyah-I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra", pp.18-20 e 22-24]
  • 11 Novembre 2010 - Luca Schaeffler: Prodotti tensoriali (complementi). Esattezza (a destra) del prodotto tensoriale. Prodotto tensoriale di algebre
    [ M.F. Atiyah-I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra", pp. 25-31]
  • 18 Novembre 2010 - Giorgio Scattareggia : Moduli di frazioni: prime proprietà
    [ M.F. Atiyah-I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra", pp. 38-43]
  • 25 Novembre 2010 - Martina Parisella: Condizioni sulle catene e moduli noetheriani
    [ M.F. Atiyah-I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra", pp. 74-78]
  • 9 Dicembre 2010 - Giovanna Catavitello: Applicazioni del BasisSatz di Hilbert: Struttura degli insiemi algebrici, varietà algebriche, irriducibilità
    [ D. R. Wilkins: "Topics in Commutative Algebra" (notes on-line), pp. 21-31]
  • 16 Dicembre 2010 - Cristian Minoccheri : Il Teorema del "going-down" (GD). Approfondimento delle relazioni tra  GU, INC e LO.
    [ M.F. Atiyah-I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra", pp. 63-64 e I. Kaplansky "Commutative rings ", pp. 28-32]

N.B. Le indicazioni bibliografiche sono minimali, da integrare con altre fonti bibliografiche (sia tradizionali che on-line) indicate nella bibliografia del corso.

 

 

 

 

Programma d'esame  (verra' diffuso in Dicembre)                             

Calendario e Prove d'esame                              

  • Appello A: 17 gennaio 2011, ore 10
  • Appello B:  8 febbraio 2011, ore 10
  • Appello C:   7 giugno 2011, ore 10
  • Appello X:  6 settembre 2011, ore 10