Dipartimento di Matematica

I Settimana.

Introduzione al corso. Richiami sulla teoria degli anelli ed omomorfismi nel caso di anelli commutativi unitari. Ideali, ideali primi e massimali. Anelli locali: esempi e criteri.

II Settimana.

Parti moltiplicative e parti moltiplicative saturate. Ideali massimali nell'insieme degli ideali disgiunti da una parte moltiplicativa. Caratterizzazione delle parti moltiplicative saturate.

Localizzazioni. Esempi. Divisori dello zero e parti moltiplicative.

III Settimana.

Esempi di anelli locali. Un dominio e' un UFD se e soltanto se ogni ideale primo contiene un elemento primo. Nilradicale e radicale primo. Radicale di Jacobson. Esempi e prime proprieta'. Operazioni tra ideali ed esempi.

Distributivita' delle operazioni tra ideali. Teorema Cinese dei Resti per anelli commutativi e caso classico nell'anello degli interi.

Moduli su un anello. Esempi e prime proprieta'.  Hom_A(M, N) e dualita'.

IV Settimana.

Moduli finitamente generati. Moduli liberi. Teorema fondamentale di omomorfismo tra moduli.

Lemma di Nakayama: varie formulazioni.

Prodotto tensoriale di moduli: proprieta' universale e sua costruzione. Prime proprieta' del prodotto tensoriale ed esempi.

V Settimana.

Topologia di Zariski nello spazio affine su un campo. La topologia di Zariski sullo spettro primo di un anello: chiusi, aperti e base di aperti quasi-compatti. Applicazioni spettrali: continuita', immersioni aperte e chiuse. Chiusura di un sottospazio dello spettro primo.

VI Settimana.

Punti chiusi e sottospazi irriducibili di Spec(A). Spec(A) e' uno spazio T_0 , ma non T_1. Quasi-compattezza. Composizione di applicazioni spettrali associate ad omomorfismi di anelli. Densita' dell'immagine nella applicazione spettrale associata ad un omomorfismo iniettivo.

VII Settimana.

Dipendenza integrale. Chiusura integrale. Caratterizzazioni degli elementi interi. Esempi e controesempi. L'anello degli elementi interi e sua chiusura integrale. Proprieta' delle estensioni intere: stabilita' per passaggio agli anelli-quoziente ed agli anelli di frazioni. Estensioni intere ed ideali massimali. Teorema del "Lying Over" di Cohen-Seidenberg.

VIII Settimana.

Teorema del "Going-Up" di Cohen-Seidenberg.  Per ogni dominio D si ha  D = ∩ D_M, M ideale massimale di D. Un dominio e' integralmente chiuso se e soltanto se lo e' localmente. Anelli di valutazione. Prime proprieta' ed esempi. Sopraanelli di anelli di valutazione. Anelli di valutazione ed anelli integralmente chiusi.

XI Settimana.

Anelli di valutazione ed elementi massimali negli insiemi di domini locali. Lemma u, u^{-1}. Teorema di Krull: un dominio integralmente chiuso e' intersezione dei suoi sopraanelli di valutazione.
Anelli noetheriani.  Proprieta' di stabilita' di anelli noetheriani (passaggio all'anello -quoziente e all'anello delle frazioni).  Moduli noetheriani e moduli di tipo finito su anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Prime applicazioni e conseguenze.

X Settimana.

Teorema di normalizzazione di Noether. Teorema di Zariski. Teorema degli zeri di Hilbert (forma "debole" e forma "forte"). Conseguenze geometriche del Teorema degli zeri.
Ideali irriducibili ed ideali primi. In un anello noetheriano ogni ideale proprio possiede una decomposizione finita in ideali irriducibili.

XI Settimana.

Ideali primari. Radicale di un ideale primario. Ideali M-primari, con M ideale primo. Esempi e controesempi.

In un anello noetheriano un ideale irriducibile e' primario. esempi.

In un anello noetheriano ogni ideale proprio possiede una decomposizione finita in ideali primari ed un ideale radicale (proprio) possiede una decomposizione finita in ideali primi.

XII Settimana.

Chiusi irriducibili di uno spazio topologico. componenti irriducibili. Insiemi algebrici e loro presentazione come unione finita di varieta' algebriche irriducibili.

Domini di valutazione discreta e domini di Dedekind. Esempi. In un dominio di Dedekind ogni ideale proprio possiede una presentazione come prodotto di un numero finito di ideali potenze di ideali primi (=massimali). Esempi in anelli di numeri quadratici.