AM220 Analisi Matematica 4

AA 2011-2012 - II Semestre (L. Chierchia)

Esercitazioni: S. Mataloni

Indice
Avvisi
AM220 @ matrm3
Breve programma
AM220 aa 2010/2011
Orari
Diario delle lezioni
Diario delle esercitazioni
Tutorato
Bibliografia
Esoneri ed esami

AVVISI

• L'orale dell'appello B si terrà venerdì 13/7/12 alle ore 11:00 (Studio 210).

• Orario lezioni / esercitazioni / tutorato:
  - lezioni: lunedì e mercoledì 9:00 - 11:00 (Aula F, complesso aule, Largo San L. Murialdo 1)
  - esercitazioni: venerdì 11:00-13:00 (Aula F).
  - tutorato: martedì 9:00-11:00 (Aula G)

• Orario di ricevimento (L. Chierchia):
  Lunedì e mercoledì 17:00-18:00 - Studio 210, Dipartimento di Matematica

Diario delle lezioni
• Lezioni 1 e 2 [20/2/12] La norma operatoriale sullo spazio vettoriale delle matrici nxm. Completezza. Le matrici quadrate con la norma operatoriale sono un'algebra di Banach. La serie di Neumann.
  Esercizi assegnati [C]: es 6.5, 6.6, 6.7; es 6.32.

• Lezioni 3 e 4 [22/2/12] Contrazioni su spazi di Banach e spazi merici: il lemma delle contrazioni.
  L'integrale di funzioni continue di una variabile a valori vettoriali; la norma dell'integrale è minore o uguale all'integrale della norma. Introduzione al teorema delle funzioni implicite.
  Esercizi assegnati [C]: es 6.40, 6.41 e 6.43.

• Lezioni 5 e 6 [27/2/12] Dimostrazione del teorema delle funzioni implicite.
  Esercizi assegnati [C]: es 7.3, 7.6, 7.7.

• Lezioni 7 e 8 [2/3/12] Regolarità di funzione implicite. Teorema della funzione inversa. Diffeomorfismi C¹ in Rⁿ.
  Esercizi assegnati [C]: es 7.8, 7.18.

• Lezioni 9 e 10 [5/3/12] Massimi e minimi vincolati; il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
  Esercizi assegnati [C]: es 7.12-7.16.

• Lezioni 11 e 12 [9/3/12] Unificazione delle ipotesi del teorema delle funzioni implicite; esempi.
  Rettangoli in Rⁿ e loro misura; partizioni; diametro di un insieme e di una partizione; raffinamenti e partizione unione.

• Lezioni 13 e 14 [12/3/12] Misura interna e misura esterna (secondo Peano-Jordan) di un insieme limitato; integrale di Riemann inferiore e superiore di una funzione limitata su un insieme limitato. Proprietà elementari: relazione tra misurabile e integrabile; caratterizzazione della integrabilità e della misurabilità; approssimazione dell'integrale di Riemann tramite somme parziali di Riemann.

• Lezioni 15 e 16 [14/3/12] Oscillazione di una funzione su rettangoli e relazione con l'integrabilità. Linearità e positività dell'integrale di Riemann. f è integrabile se e solo f₊ e f_- sonon integrabili; se f è integrabile lo è anche |f|; se f e g sono integrabili lo è anche fg. Misurabilità di unione e intersezioni di insiemi misurabili. Addidività dell'integrale. Caratterizzazione della misurabilità mediante insiemi misurabili. Misurabilità della chiusura, dell'interno e della frontiera di insiemi misurabili.

• Lezioni 17 e 18 [19/3/12] Integrabilità delle funzioni continue e approssimazione con somme di Riemann per funzioni C¹. Misurabilità di insiemi normali.

• Lezioni 19 e 20 [21/3/12] Teorema sugli integrali iterati.
  Enunciato del Teorema sul cambio di variabili. Primi esempi in R^2.

• Lezioni 21 e 22 [26/3/12] Coordinate sferiche e cilindriche. Calcolo del determinate dello jacobiano nel passaggio a coordinate sferiche. Esempio: integrale di f(x,y,z) su un insieme contenuto nel semispazio z > 0 delimitato da cilindro x^2+y^2=x e cono x^2+y^2=z^2.

• Lezioni 23 e 24 [28/3/12] Caratterizzazione dell'integrabilità con le funzioni a scalini e con le successioni di funzioni a scalini. Lemmi topologici sulla immagine della frontiera e la frontiera dell'immagine di un dato insieme.

• Lezioni 25 e 26 [30/3/12] Teorema: il volume di un parallelepipedo generato da n vettori in Rⁿ è uguale al determinante della matrice che ha per colonne le componenti degli n vettori.

• Lezioni 27 e 28 [16/4/12] Trasformazioni nonlineari di cubi in Rⁿ.

• Lezioni 29 e 30 [18/4/12] La misura di F(A), con F trasformazione "regolare" e A aperto misurabile, è pari all'integrale su A del modulo dello Jacobiano di F.

• Lezioni 31 e 32 [23/4/12] Conclusione della dimostrazione del teorema del cambio di variabili in Rⁿ.
  Teoria dell'integrazione di Riemann in Rⁿ (versione del 27/4/12)

• Lezioni 33 e 34 [30/4/12] Definizione di immersione differenziabile, elementi di k-varietà in Rⁿ e varietà. Prime proprietà ed esempi.

• Lezioni 35 e 36 [2/5/12] Spazio tangente ad una k-varietà e sua base canonica. Esempi di k-varietà dati con equazioni. Definizione di inclusione differenziabile e di k-varietà regolare a tratti.

• Lezioni 37 e 38 [4/5/12] Integrazione su varietà: definizioni ed esempi. Integrale di x₁² sul guscio della sfera in R³. Invarianza delle definizione per cambi di coordinate.

• Lezioni 39 e 40 [9/5/12] Insiemi regolari ed enunciato del teorema della divergenza. 1-forme differenziali e loro integrale curvilineo.

• Lezioni 41 e 42 [14/5/12] I teoremi di Green e Stokes.

• Lezioni 43 e 44 [16/5/12] Forme differenziali chiuse ed esatte; condizioni necessarie e sufficienti. Lemma di Poincaré. Relazioni tra forme esatte e chiuse e rotore, divergenza e gradiente.

• Lezioni 45 e 46 [21/5/12] Partizione dell'unità. Dimostrazione del teorema della divergenza in Rⁿ (inizio).

• Lezioni 47 e 48 [22/5/12] Conclusione della dimostrazione del teorema della divergenza.

Diario delle esercitazioni (le parti in corsivo sono di teoria)
• Esercitazioni 1 e 2 [24/2/12] Integrali doppi e tripli in domini normali (enunciati).
  1) Integrale doppio su un dominio - rappresentato graficamente - normale rispetto ad entrambi gli assi. Calcolo esplicito degli integrali invertendo l'ordine d'integrazione.
  2) Integrale doppio sul semicerchio chiuso nel primo quadrante di centro (1,0) e raggio 1.
  3) Integrale sul triangolo di vertici (0,0), (1,1), (10,1).
  4) senza calcolarli esprimere integrali doppi invertendo l'ordine d'integrazione.
  5) Calcolare il volume del tetraedro con vertici (0,0,0), (0,0,c), (0,b,0), (a,0,0) con a,b,c>0.

• Esercitazioni 3 e 4 [29/2/12] Integrali tripli su domini normali:
  1) calcolo del volume di E={0 < x < 1, 0 < y < 1, x+y < z < x^2+y^2+1};
  2) integrale triplo di una particolare f(x,y) su H={0 < z < x < 1, 0 < y < x^3};
  3) integrale triplo di una particolare f(x,y) su tetraedro di coordinate (0,0,0), (0,0,1), (0,1,1), (1,1,1). Equazione di un piano passante per tre punti dello spazio;
  4) integrale triplo di una particolare f(x,y) su A={0 < x < 1, y < z < y e^{x^3-y^3}}.
  Coordinate polari, descrizione di una circonferenza di raggio r centrata nell'origine in coordinate polari. Coordinate sferiche e descrizione di una sfera di raggio r centrata nell'origine in coordinate sferiche.

• Esercitazioni 5 e 6 [7/3/12] Determinazione delle funzioni implicite y(x) per F(y,x)=0 con F(y,x)=(senh (y₂ + x) + y₁² + y₂² , y₁ + (xy₁)²+1/8).

• Esercitazioni 7 e 8 [16/3/12] Massimi e minimi vincolati e teorema dei moltiplicatori di Lagrange:
  - Massimo e minimo di xy sulla circonferenza di centro l'origine e raggio 1 (discussione sui vari metodi di risoluzione dell'esercizio)
  - Discutere, al variare di alpha, massimo e minimo di x^2+y^2 su x^alpha+y^alpha=1, x,y non negative.
  - minimo di y sul vincolo y^3-x^2=0
  Teorema delle funzioni implicite: - Esempio 7.3 [C].
  - Data F(y,x)=(sin x+e^xy_1+sin(y_1y_2),3|x|+y_2+y_1^4) e p_0=(0,0,0). Mostrare che vale il TFI e trovare rho ed r che soddisfano le stime presenti nell'enunciato del teorema (con alpha=1/2).

• Esercitazioni 9 e 10 [23/3/12] Integrale doppio di f(x,y)=x^2+y^2 e di f(x,y)=\sqrt(x^2+y^2) sulla circonferenza di centro (r,0) e raggio r. (con l'uso di due parametrizzazioni differenti della stessa circonferenza).
  Calcolo del volume della parte interna tra una sfera di centro (0,0,1) e parabolide z>2(x^2+y^2) (esercizio svolto in due modi).

• Esercitazioni 11 e 12 [20/4/12] Volume dei solidi di rotazione. Misura della palla n-dimensionale.
  Esercizio: calcolare il volume del solido di rotazione intorno all'asse delle x della regione piana illimitata A={0 < x < 1; 0 < y < 1/(x^(1/4)(2-x)^(1/2))}.
  Definizione di baricentro di un dominio D. Enunciato Teorema di Guldino (solido generato dalla rotazione di un angolo alpha di un dominio del piano)
  Esercizio: Si calcoli il volume del solido che si ottiene per rotazione intorno all'asse y del dominio del primo quadrante delimitato dall'asse delle x e dal segmento parabolico y=4x-x^2

• Esercitazioni 13 e 14 [27/4/12] Mostrare che la misura di A_n:={(x_1,...,x_n): x_i > 0 x_1+...+x_n < 1} ha misura pari a 1/n! (vedi tutorato 27/4/11 ).
  Integrale di e^[(x-y)/(x+y)] sul triangolo di vertici (0,0) (1,0) (0,1). Integrale di (x+2y)e^(y-x) sul quadrilatero di vertici (0,1) (2,0) (0,-2) (-2,-1). Volume del solido di rotazione intorno all'asse y della regione delimitata dalle rette y=x, 2y-2x=-1 dalla retta passante per (0,1) e (2,0) e la retta passante per (0,1/2) e (1,0).

• Esercitazioni 15 e 16 [7/5/12] Lunghezza di una curva data in eq. parametrica e calcolo di integrali curvilinei. Lunghezza di una curva data come intersezione tra un piano e un cilindro e calcolo di integrale curvilineo vedi esercizi 1, (a) e (b); 2, (a) e (b) in tutorato del 11/5/11 . Equazione polare di una curva e calcolo della lunghezza di una curva data mediante la sua equazione polare. Calcolo dell'area di una superficie calcolo di un integrale superficiale vedi esercizi 1 e 2 in tutorato del 11/5/11 .

• Esercitazioni 17 e 18 [11/5/12] Calcolo dell'equazione del piano tangente e del versore normale a superfici assegnate mediante equazione parametrica e cartesiana. Area di superfici di rotazione. Baricentro di una curva.

• Esercitazioni 19 e 20 [18/5/12] Integrale curvilineo di forma differenziale.
  Calcolare la primitiva di 2x/(1+x^2+y^2)dx+2y/log(1+x^2+y^2)dy.
  Mostrare che non esiste la primitiva di 3x^2dx+ xy^2dy e di -y/(x^2+y^2)dx+x/(x^2+y^2)dy.
  Dire se la forma (3x^2+y)dx+xdy+2zdz è esatta e calcolarne una primitiva.
  Determinare nel semipiano y > 0, la primitiva di f(x,y) della forma w:0 e^(x/y)/y (dx-x/y dy) verificante la condizione f(0,1)=0.

• Esercitazioni 21 e 22 [23/5/12] Data la regione di spazio {(x,y,z)∈ R^3: x^2+y^2-4≤ z^2≤ -x^2-y^2 +4} e dato il campo vettoriale F(x,y,z)=(2xy,-3xy,5z)
  1) abbozzare una rappresentazione grafica di V
  2) calcolare esplicitamente l'integrale di volume della divergenza di F
  3) calcolare esplicitamente il flusso uscente dal campo F attraverso a superficie che delimita il volume V.
  Data la superficie S={(x,y,z) ∈ R^3: x^2+y^2+z^2=9, z≥ 0, y≤ 0} e il campo vettoriale F(x,y,z)=(2y+z^2,x-z^2/4,z^2):
  1) abbozzare una rappresentazione grafica di S
  2) calcolare esplicitamente il flusso uscente del rotore di F attraverso S
  3) calcolare esplicitamente la circuitazione (nel verso concorde all'orientazione di S) del campo F lungo il bordo di S.

• Esercitazioni 23 e 24 [25/5/12] Orientazione su varietà con bordo. Verifica del teorema di Stokes su un cilindro.

Esoneri ed esami

I Esonero: 13/4/12; 10:00-12:00, aula G.
Testo


II Esonero:1/6/12; 9:00-11:30, aula G.
Testo

Appello A: 11/6/12, 10:00-12:30 (scritto); 13/6/12, 9:00, aula 311 Dip Mat (orale)

Appello B: 10/7/12, 10:00-12:30 (scritto); 13/7/12, 11:00, aula 211 Dip Mat (orale)

Appello X: 11/9/12, 10:00-12:30 (scritto)

Appello C: 10/1/13, 10:00-12:30 (scritto)

Tutorato (Tutore: Daniele Dimonte; soluzioni a cura di Daniele Dimonte e Sara Lamboglia)
• Tutorato 1
• Tutorato 2
• Alcune stime elementari
• Tutorato 3
• Tutorato 4
• Tutorato 5
• Tutorato 7
• Tutorato 8
• Tutorato 9 (Soluzioni Primo esonero)
• Tutorato 10
• Tutorato 11 (versione corretta)
• Tutorato 12

Bibliografia
[G] Giusti, E.: Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, 2003
[C] Chierchia, L.: Lezioni di analisi matematica 2. Ottobre 1997 (edizione fuori commercio)
[GE] Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri , 2000
[D] Demidovich, B.P., Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 1993 (edizione fuori commercio)

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi (at) mat.uniroma3.it