Algoritmo euclideo, numeri di Fibonacci, Teorema di Lamé, domini euclidei | |
Scopi ed obiettivi | Teorema di Lamé sul numero massimo di divisioni necessarie per trovare il MCD con l'algoritmo euclideo. Formalizzazione algebrica dell' algoritmo euclideo: domini euclidei esempi ed applicazioni, algoritmo euclideo e polinomi |
Bibliografia | K.H. Rosen, Elementary number theory and its applications, Addison Wesley 1985 (Sec. 2.2) M. Fontana, Appunti dei corsi di algebra "Anelli ..." e di Istituzioni di Algebra Superiore, rispettivamente pp.86-101, pp. 36-80 R.B.J.T. Allenby-E.J.Redfern, Introduction to number theory with computing, E.Arnold Ed. 1989 (Sec. 1.5,1.6,1.7) |
Proposta da | Prof. M.Fontana |
Discriminante e teorema di Stickelberger sulla parità del numero di fattori irriducibili di un polinomio di Z p [ x ] | |
Scopi ed obiettivi | Proprietà del risultante e del discriminante, teorema di Stickelberger |
Bibliografia | L.Childs, Algebra: Un'introduzione concreta, ETS Editore 1983 (Cap.15 pp.307-315) Per le proprietà del risultante vedere anche B.L. Van der Warden, Algebra Ungar vol. I A.Machì, Algebra per il calcolo simbolico, KAPPA 1995 |
Proposta da | Prof. M.Fontana |
Il teorema cinese dei resti e sue generalizzazioni | |
Scopi ed obiettivi | Congruenze lineari, sistemi di congruenze lineari: loro riducibilità. Condizioni necessarie e sufficienti per la risolubilità di un sistema di congruenze lineari. Ideali comassimali e teorema cinese de iresti nella teoria degli anelli. Domini di Prüfer: loro caratterizzazione attraverso la validità del teorema cinese dei resti. |
Bibliografia | W. Leveque: Fundamentals of number theory, Addison-Wesley 1977, Sec.3.3 H.M.Stark: An introduction to number theory, MIT Press 1994, pp.1994 A.Machì, Algebra per il calcolo simbolico, KAPPA 1995, cap. 1.2 R.W.Gilmer: Multiplicative ideal theory, M.Dekker 1972, Sec.25 Th.25.1 F.Atiyah-MacDonald: Introduzione all'algebra commutativa, Feltrinelli 1981, pp.23-27 |
Proposta da | Prof. M.Fontana |
Campi ciclotomici e polinomi ciclotomici | |
Scopi ed obiettivi | Radici dell' unità, irriducibilità dei polinomi ciclotomici, campi ciclotomici, gruppo di Galois di un campo ciclotomico. Applicazione: per ogni n >= 2 esistono infiniti numeri primi p tali che p=1(mod n) (caso particolare del teorema di Dirichlet) |
Bibliografia | M.H. Fernick: Introduction to the Galois correspondence, pp. 173-180, 183-184 B.L.Van der Waerden: Algebra Vol.I, pp.172-178 I.Adamson: Introduction to field theory, pp.130-145 |
Proposta da | Prof. M.Fontana |
Polinomi irriducibili su Z p [x] | |
Scopi ed obiettivi | Polinomi irriducibili su Z p [x] e fattori irriducibili di x pn -x . Funzione di Möbius. Numero di polinomi irriducibili di Z p [X] di un dato grado |
Bibliografia | L.Childs, Algebra: Un' introduzione concreta, ETS Editrice 1983, Cap.13 pp.298-304 Per la funzione di Möbius vedere anche D.Burton, Elementary Number Theory, Allyn-Bacon 1976 |
Proposta da | Prof. M.Fontana |
Dipendenza integrale e valutazioni | |
Scopi ed obiettivi | Dipendenza integrale ed estensioni algebriche di campi. Teoremi di Cohen:"Going-up"-"Going-down". Anelli di valutazione e chiusura algebrica. "Nullstellensatz" |
Bibliografia | F.Atiyah-MacDonald: Introduzione all'algebra commutativa, Feltrinelli 1981, pp.23-27 I.Kaplansky: Commutative Rings, pp.27-36 M.Matsumura: Commutative Ring Theory, pp.64-91 |
Proposta da | Prof. M.Fontana |
Le formule per la risoluzione delle equazioni di terzo grado | |
Scopi ed obiettivi | Inquadrare storicamente il problema della risoluzione delle equazioni polinomiali. Discutere le formule di Tartaglia-Cadano in base alla positività del discriminante |
Bibliografia | J.Rotman, Galois theory, Universitext |
Proposta da | Prof. S.Gabelli |
La Cardinalità del Continuo | |
Scopi ed obiettivi | La cardinalità di un insieme é inferiore a quella delle sue parti. Applicare questo risultato per dimostrare che R non é numerabile e che esistono numeri trascendenti |
Bibliografia | M.Fontana-S.Gabelli, Insiemi, numeri e polinomi, CISU, Roma (cap. 12) |
Proposta da | Prof. S.Gabelli |
Costruzione con riga e compasso di poligoni regolari | |
Scopi ed obiettivi | Illustrare il teorema di gauss che dà condizioni necessarie e sufficienti perchè un poligono di n lati sia costruibile con riga e compasso |
Bibliografia | G.M. Piacentini-Cattaneo, Algebra, Decibel-Zanichelli (cap 7.5) |
Proposta da | Prof. S.Gabelli |
Ampliamenti algebrici e campi algebricamente chiusi | |
Scopi ed obiettivi | Dare un equivalente, nel caso di campi non numerici, del Teorema Fondamentale dell'Algebra. |
Bibliografia | C. Procesi: Elementi di Teoria di Galois, Zanichelli (1977) S. Gabelli: Appunti del Corso di AL4 - (Istituzioni di Algebra Superiore) A.A. 2000/2001 |
Proposta da | Prof. S.Gabelli |
Lo spettro primo di un anello | |
Scopi ed obiettivi | Studio delle proprieta' funtoriali di Spec(A). |
Bibliografia | H. Matsumura: Commutative ring Theory, Cambridge Univ. Press M. Atiyah- MacDonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley |
Proposta da | Prof. F.Girolami |
Ideali primi, primari e massimali in anelli di polinomi e serie formali | |
Scopi ed obiettivi | Capire le differenze e le analogie anelli di polinomi e anelli di serie formali |
Bibliografia | Kaplansky: Commutative Rings, Univ. Chicago Press J. W. Brewer: Power Series over Commutative Rings |
Proposta da | Prof. F.Girolami |
S(eidenberg)-Anelli forti | |
Scopi ed obiettivi | La nozione di S-Anello forte permette di trattare in modo unificato il comportamento degli anelli noetheriani e nei domini di Prüfer rispetto alla dimensione degli anelli di polinomi |
Bibliografia | Kaplansky: Commutative Rings, Univ. Chicago Press, Chicago 1974 S. Malik- J.L. Mott, Strong S-Domains, J. Pure Appl. Algebra 28 (1983), 249-264 |
Proposta da | Prof. F.Girolami |
Numeri primi in progressione aritmetica | |
Scopi ed obiettivi | Dati a,m numeri interi tali che (a,m)=1 si dimostra che esistono infiniti numeri primi p tali che p sia congruo ad a modulo m . La dimostrazione usa il concetto di Carattere di Dirichlet e quello di L-serie. Si tratta di studiare la distribuzione degli zeri e dei poli delle L-serie nelle regioni Re(s) >=1 |
Bibliografia | J.P.Serre, A course in Arithmetic, Springer 1985 H.Davenport, Multiplicative number theory, Springer 1980 (Cap.1-2-3-4) |
Proposta da | Prof. F.Pappalardi |
Quadrati Latini (Applicazioni di Campi Finiti) | |
Scopi ed obiettivi | Discutere le proprietà fondamentali dei quadrati latini. Quadrati latini ortogonali. Dimostrazione del Teorema: (a) Esistono al più m-1 quadrati di ordine m ; (b) se m=p^a , allora esistono esattamente m-1 quadrati latini ortogonali. Il problema dei 36 ufficiali di Eulero |
Bibliografia | Childs, A concrete introduction higher algebra, Springer (200) II ediction; Riorda, An introduction to combinatorial analysis, Princeton University Press, (1980). |
Proposta da | Prof. F.Pappalardi |
Il gruppo dei punti razionali di una curva ellittica | |
Scopi ed obiettivi | Definizione di curva ellittica; definizione della struttura di gruppo sull' insieme dei punti definiti su un campo di una curva ellittica; dimostrazione che la precedente definizione e' ben posta; enunciato del teorema di Mordell-Weil. |
Bibliografia | J. Silvermann, Arithmetics of Elliptic Curves, Springer |
Proposta da | Prof. F.Pappalardi |
Teorema di Chebychev | |
Scopi ed obiettivi | Dimostrare che, se pi(x) è il numero dei primi minori o uguali a x, allora (x/6 log x) < pi(x) < (6x/log x) . |
Bibliografia | T. Apostol, Introduction to analitic number theory. |
Proposta da | Prof. F.Pappalardi |
Forme modulari | |
Scopi ed obiettivi | Definizione di funzione modulare. Serie di Eisenstein. Poli di funzioni modulari.Teorema di Jacobi (cioè l'espansione in prodotti della funzione Delta) |
Bibliografia | T. Apostol, Modular function and Dirichelet series in number theory, Springer GTM 106 J.P. Serre, A course in Arithmetics, Springer (pag. 77-97) |
Proposta da | Prof. F.Pappalardi |
Il metodo dell'iperbole di Dirichelet | |
Scopi ed obiettivi | Si tratta di dimostrare la formula asintotica per il valor medio del numero di divisori di un intero. |
Bibliografia | T. Apostol, Introduction to analitic number theory, Springer UTM (1995) (pag 52 - 59) Hardy, Wright, Un introduction to the theory of numbers, Oxford Science Pubs (1995) (pag. 263 - 266). |
Proposta da | Prof. F.Pappalardi |
Caratteri dei Gruppi finiti | |
Scopi ed obiettivi | Proprietà fondamentali delle rappresentazioni,Caratteri,Leggi di Ortogonalità di Caratteri, esempi,Tavola dei Caratteri di C n ,D 2 ,H. |
Bibliografia | J.P.Serre"Linear representations of finite groups". Springer(GTM 42). |
Proposta da | Prof. F.Pappalardi |
Codici a correzione d'errore | |
Scopi ed obiettivi | Definizione di codice e codice a correzione d'errore. Codici di Hill. Applicazione dei campi finiti con i codici di Reed-Solomon. |
Bibliografia | Lindsay, Childs. A concrete introduction to higher algebra, UTM Springer 1995 |
Proposta da | Prof. F.Pappalardi |
L'algoritmo di Tonelli-Shanks | |
Scopi ed obiettivi | Dopo aver compreso la nozione di Algoritmo probabilistico (tipo Las Vegas), si applica questa nozione all'algortmo di Tonelli-Shanks per calcolare le radici quadrate di elementi su campi finiti. |
Bibliografia | Per la nozione di Algoritmo probabilistico: D. Stinson, Cryptography, CRC Press, Boca Raton FL 1995; per Tonelli-Shanks: Cohen, Course in computational algebric number theory, Springer GTM 138 |
Proposta da | Prof. F.Pappalardi |
Il teorema di Liouville e la costruzione dei numeri trascendenti | |
Scopi ed obiettivi | Dimostrare il teorema di Liouville e dare applicazioni alla costruzione di numeri trascendenti essendo in grado di costruire esempi espliciti di tali numeri |
Bibliografia | Hardy-Wright, An introduction to the theory of numbers (pg.154-162) |
Proposta da | Prof. E.Sernesi |
La trascendenza di e e di Pi-greco | |
Scopi ed obiettivi | Dimostrare la trascendenza di e e di pi-greco. Conoscere i collegamenti tra questi risultati ed il classico problema della quadratura del cerchio. |
Bibliografia | Hardy-Wright, An introduction to the theory of numbers (pg. 170-176) |
Proposta da | Prof. E.Sernesi |