Dipartimento di Matematica
Roma TRE
TE1 - Teoria delle Equazioni e
Teoria di Galois
a.a. 2007/2008 - II Semestre
Diario delle Lezioni
Settimana 1: La
caratteristica di un campo. Omomorfismi tra campi. Ampliamenti di
campi. Il grado di un ampliamento e sue proprietà. Il campo
K[X]/<m(X)>. Elementi
algebrici e trascendenti. Classificazione degli ampliamenti semplici.
Settimana 2: Campi
di spezzamento di polinomi a
coefficienti numerici. Radici complesse dell'unità e ampliamenti
ciclotomici. Irriducibilità del p-simo polinomio ciclotomico.
Calcolo delle radici quinte dell'unità. La sezione aurea di un
segmento. Formule risolutive per le equazioni di terzo grado.
Settimana
3: Un
ampliamento è finito se e
soltanto se è algebrico e finitamente generato. Chiusura
algebrica di F in K. Il campo dei numeri algebrici non è finito
su Q. Costruzione di un campo di spezzamento. Radici multiple.
Esistenza di campi
finiti di ogni ordine ammissibile. Ogni campo finito è un
amplimento semplice del suo sottocampo fondamentale.
Settimana 4: Polinomi
irriducibili su Fp.
Costruzione di campi finiti come quozienti di Fp[X].
Isomorfismi tra campi finiti. Estensioni di omomorfismi di campi.
F-isomorfismi. Isomorfismi in C: esempi. Unicità del campo di
spezzamento.
Settimana
5: Elementi
coniugati.
Separabilità. I campi finiti e i campi di caratteristica zero
sono perfetti. Polinomi ciclotomici ed ampliamenti ciclotomici. Gruppi
di automorfismi di campi finiti e di ampliamenti ciclotomici. Il
più grande sottocampo reale di un ampliamento ciclotomico.
Polinomi di grado phi(n)/2 con tutte radici reali.
Settimana
6: Chiusure
algebriche e campi
algebricamente chiusi. Costruzione di una chiusura algebrica come
unione di campi di spezzamento. F-isomorfismi in una chiusura algebrica
di F. Campi coniugati.
Settimana
7: Ampliamenti
normali e loro
caratterizzazioni. Ampliamenti normali finiti come campi di
spezzamento. Il teorema dell'elemento primitivo. Ampliamenti di Galois
e loro caratterizzazioni. Campi intermedi di ampliamenti di Galois.
Risolventi di Galois. Calcolo di alcuni gruppi di Galois come gruppi di
permutazioni.
Prima prova di valutazione
intermedia
Settimana
8: Polinomi simmetrici.
Teorema fondamentale. Il polinomio generale e il suo gruppo di Galois.
Relazioni fra le radici ed i coefficienti di un polinomio. Il
discriminante di un polinomio. Formule per il calcolo del
discriminante. Il discriminante del p-simo ampliamento ciclotomico.
Definizione della corrispondenza di Galois.
Settimana
9: La
corrispondenza di Galois per gli
ampliamenti di Galois finiti: proprietà ed esempi. Gruppi di
Galois di polinomi biquadratici.
Settimana
10: Polinomi con
gruppo di Galois contenuto in An.
Campi di spezzamento e gruppi di Galois di polinomi di terzo
grado. Ogni ampliamento quadratico è
contenuto in un ampliamento ciclotomico. Cenni
sul problema inverso. Costruzione
di polinomi su un campo opportuno con gruppo di Galois assegnato.
Costruzione di polinomi su Q
con gruppo di Galois ciclico. Gruppi risolubili: definizione ed
esempi. Sn non
è risolubile per n > 4.
Settimana 11:
Il Lemma di Dedekind. Ampliamenti
radicali. Caratterizzazione degli ampliamenti radicali puri come
ampliamenti ciclici di Q(\xi). Il gruppo di Galois del polinomio X^n
-a. Il gruppo metaciclico di grado 5. Enunciato del Teorema di Galois
sulla
risolubilità delle equazioni polinomiali. Il Teorema di
Ruffini-Abel. Esempi di polinomi di quinto grado non risolubili per
radicali.
Settimana 12: Dimostrazione
del Teorema di Galois
sulla
risolubilità delle equazioni polinomiali. Costruibilità
con riga e compasso. Punti costruibili. Costruzioni impossibili.
Settimana
13: Costruibilità dei poligoni
regolari: il teorema di Gauss. Una dimostrazione del Teorema
Fondamentale dell'Algebra.
Seconda
prova di valutazione
intermedia