AM6 - Principi dell'Analisi Funzionale
AA 2006-2007 (II Semestre)
L. Chierchia
Avvisi
- [12/4/2007] L'orario delle lezioni è modificato come segue: lunedì e giovedì 10:30-12:00,
studio 210 del Dipartimento di Matematica.
- [20/3/2007] La lezione di giovedì 22 marzo è spostata a venerdì 23 marzo alle 11:30.
- [3/3/2007] ATTENZIONE: per seguire il corso e sostenere l'esame è NECESSARIO completare
l'iscrizione telematica al
corso.
- [1/3/2007] Il corso si terrà presso lo studio 210 del Dipartimento di Matematica secondo l'orario sotto specificato.
- Diario indicativo delle lezioni
(la numerazione delle proposizioni si riferisce al libro di H. Brezis, Analyse fonctionnelle,
Théorie et applications
, Masson 1983)
- I settimana (19-25/2)
Generalità sugli operatori lineari tra spazi normati; norma di operatori lineari. Esempi di spazi normati infinito
dimensionali. Seminorme. Lemma di Zorn (enunciato).
Teorema di Hahn-Banach (formulazione analitica)
- II settimana (26/2-4/3)
Alcuni corollari del teorema di Hahn-Banach. La funzione di gauge di un convesso aperto contenente l'origine.
Esempi di funzionali lineari non continui su un qualunque spazio normato infinito-dimensionale.
Separazione di insiemi tramite iperpiani chiusi.
Teorema di Hahn-Banach: formulazione geometrica (debole e forte). Funzioni semicontinue inferiormente.
Insiemi e funzioni convesse.
- III settimana (5-11/3)
Funzioni coniugate e bi-coniugate. Teorema di Fenchel-Moreau.
Il lemma di Baire. Il teorema di Banach-Steinhaus. Il teorema dell'applicazione aperta.
- IV settimana (12-18/3)
Alcune conseguenze del teorema dell'applicazione aperta: corollario II.6; osservazione 5.
Teorema del grafico chiuso.
Relazioni d'ortogonalità in spazi di Banach. Proposizione II.12.
Ortogonale in uno spazio di Banach e nel duale. Proposizioni II.13, II.14 e Corollario II.14.
Operatori non limitati; operatori non limitati chiusi. L'aggiunto di un operatore non limitato.
L'aggiunto di un operatore non limitato è chiuso. J(G(A*))=G(A)
⊥.
- V settimana (19-25/3)
Corollario II.17. Teorema II.18 (solo enunciato). Topologie generate da una data famiglia di insiemi;
la topologia meno fine che rende continue una data famiglia di funzioni. Proposizioni III.1 e III.2.
Topologia debole σ(E,E'); proprietà fondamentali (proposizioni III.3, III.4,
III.5, III.6). Se E è uno spazio di Banach infinito dimensionale, la chiusura debole di {||x||=1} è
{||x|| ≤ 1}. Un sottoinsieme convesso di uno spazio di Banach è
(fortemente) chiuso se e solo se è debolmente chiuso.
- VI settimana (26/3-1/4)
Una funzione convessa e s.c.i. su E (forte) è s.c.i. per la topologia debole σ(E,E'). Un operatore
lineare tra due spazi di Banach è (fortemente) continuo
se e solo se è continuo da (E,σ(E,E')) in (F,σ(F,F')).
La topologia * debole su E': proprietà generali. Teorema di Banach, Alaoglu.
Spazi riflessivi. Lemmi di Helly e Goldstine. Uno spazio di Banach è riflessivo se e solo
se la sua palla
unitaria è debolmente compatta.
- VII settimana (16/4-22/4)
E (spazio di Banach) è riflessivo se e solo se E' è riflessivo.
Corollario III.19. Corollario III.20. Teorema III.21.
Spazi separabili. Se E è uno spazio di
Banach tale che E' è separabile allora E è separabile.
Corollario III.24.
Sia E uno spazio di Banach. Allora, BE' è metrizzabile per σ(E',E) se
e solo se E è separabile.
Corollari III.26 e III.27.
Spazi uniformemente convessi. Gli spazi di Banach uniformemente convessi sono riflessivi. Proposizione
III.30.
- VIII settimana (23/4-29/4) Spazi di Hilbert: proprietà geometriche fondamentali
(prodotto scalare; disuguaglianza di Cauchy; identità del parallelogramma; uniforme
convessità; riflessività proiezione su convessi chiusi). Duale di uno spazio
di Hilbert (teorema di Riesz-Fréchet)
Forme bilineari, continue e coercive: teorema di Stampacchia e teorema di Lax-Milgram.
Somma diretta di sottospazi; diseguaglianza di Bessel ed identità di Parseval. Basi hilbertiane.
Spazi di Hilbert separabili e costruzione di una base hilbertiana (Gram-Schmidt).
- IX settimana (30/4-6/5) Operatori compatti. Lo spazio degli operatori compatti è chiuso. Operatori a rango
finito.
Il limite (forte) di operatori a rango finito è compatto; in spazi di Hilbert ogni operatore compatto è
limite di operatori a rango finito. Componendo operatori compatti con operatori limitati si ottengono operatori
compatti. Un operatore è compatto se e solo se il suo aggiunto è compatto.
Teoria di Fredholm. Lemmi di Risz (Lemma VI.1 e VI.5). Teorema dell'alternativa di Fredholm.
- X settimana (7/5-13/5) Supplementari topologici. Conclusione della dimostrazione del teorema dell'alternativa di
Fredholm. Definizione di spettro. Esempi di operatori compatti con spettro dato da una successione (arbitraria) di
numeri reali an tendenti a 0.
Lo spettro di un operatore limitato T è un sottoinsieme compatto dell'intervallo
[-||T||,||T||]. Spettro di operatori compatti. Teorema spettrale per operatori compatti autoaggiunti.
- XI e XII settimana (14/5-27/5)
Il Problema di Dirichlet in R3 e operatori compatti.
-
Esami
- Appello A: 14/6/07, ore 10:00, Studio 210
- Appello B: 11/7/07, ore 10:00, Studio 210
- Appello C: 14/1/08, ore 10:00, Studio 210
Per osservazioni,
suggerimenti, ecc.:
luigi@mat.uniroma3.it
Ultima modifica 24/5/2007