Tutorato
CP1
12 Maggio 2003
1.
In un paese r persone hanno votato per il partito A e n-r per il
partito B. Per le prossime elezioni si stima che la probabilità che chi ha
votato A voti B è p1 e la
probabilità che chi ha votato B voti A è p2. Calcolare
media e varianza dei voti che prenderà il
partito A.
2.
Calcolare la
probabilità esatta che in un lancio di 12 monete il numero di teste sia
compreso tra 4 e 7 inclusi e confrontare il risultato con l’ approssimazioni
data dal teorema del limite centrale.
3.
Un paese ha 3000
abitanti. Un treno passa una volta ogni giorno. Ogni abitante prende il treno 1
volta al mese. Qual è il numero di passeggeri medio
giornaliero? (Suggerimento: considerare per ciascun passeggero la variabile
casuale che vale 1 se prende il treno e 0 altrimenti). Dare
una stima della probabilità che il treno sia sovraffollato se la capienza è C.
Quanto deve valere approssimativamemente C affinché
il treno non sia sovraffollato nel 90% dei casi?
4.
Siano X1, …, Xn variabili
casuali indipendenti di cui si conosce soltanto la media m=80 e la varianza σ=36. Sia X la
media aritmetica di X1, …, Xn. Usando la disuguaglianza di Chebichev
determinare:
a)
Due valori a e b tali che P(a<X1<b)≥0.91
b) Per quali valori c vale P(X1>c) ≥0.91
c)
Per
quali n vale P(79.98<X<80.02) ≥0.91
5.
Una moneta viene lanciata finchè non esce
testa e viene annotato il numero di lanci N1. L’ esperimento viene ripetuto k
volte, e ciascuna volta si annota il numero di lanci N2,…,Nk.
Stimare la probabilità che la media aritmetica di N1, …, Nk sia
maggiore di 3 e mostrare che tende a 0 per k
che tende all’ infinito.
Suggerimenti
e soluzioni:
1.
Aspettazione = r(1-p1)+(n-r) p2; Varianza
= r(1-p1)p1+(n-r)(1-p2)p2
2.
Probabilità
esatta = 0.7332; Approssimazione mediante teorema del limite centrale = 0.7343
3.
La media
giornaliera è 100 passeggeri. Una capienza sufficiente
che si ottiene con il teorema di Cebichev
è C=1000 persone.
4.
Lo svolgimento
completo si trova in http://www.mat.uniroma3.it/didatticacds/corsi/didattica_interattiva/aa_01_02/cp1/TutoratoCP122Aprile2002.pdf
5.
Sia Mk la variabile casuale data dalla media
aritmetica di N1, …, Nk , usando la
disuguaglianza di Cebichev su tale variabile casuale
si ottiene P(|Mk-2|>1)<4/n.