Tutorato CP1

10 Marzo 2003

Probabilità condizionata

1. Vengono lanciati 2 dadi (a 6 facce).
• Qual’ è la probabilità che il primo dado abbia un 3 se la somma dei numeri è 7?
• Qual è la probabilità che la somma sia 7 se il massimo tra i 2 numeri è 5?
• Qual’ è la probabilità che il massimo tra i 2 numeri sia 5 se la somma è 7?

2. Due vasi identici contengono rispettivamente 2 palline bianche e una nera il primo e 3 palline nere e 2 bianche il secondo. Supponiamo di estrarre una pallina da un vaso a caso. Determinare:
• La probabilità di estrarre una pallina nera.
• La probabilità di estrarre una pallina nera sapendo che il vaso scelto è il secondo.
• La probabilità che il vaso fosse il secondo sapendo che la pallina estratta è nera.

3. Un vaso contiene 2 palline bianche e 10 nere. Da questo vengono estratte 2 palline e vengono inserite in un secondo vaso vuoto. A turno 4 persone estraggono una pallina dal secondo vaso e la reinseriscono. Supponendo che in tutte e quattro le estrazioni è uscita una pallina bianca qual è la probabilità che il secondo vaso contenga solo palline bianche?

4. In una università ogni anno in media il 25% degli studenti è bocciato all’ esame di probabilità, il 15% è bocciato all’ esame di statistica ed il 10% sia in probabilità che in statistica. Prendiamo uno studente a caso:
• Qual è la probabilità che sia bocciato in statistica se è stato bocciato in probabilità?
• Se è stato bocciato in statistica qual è la probabilità che sia bocciato in probabilità?
• Qual è la probabilità che sia bocciato in probabilità o in statistica?

5. (Le tre porte) Si consideri il seguente gioco: ci sono 3 porte di cui una (a caso) nasconde un premio. Inizialmente il giocatore deve sceglierne una, dopo di che il presentatore (che già sa dov’ è il premio) sceglie a caso una delle porte rimanenti in cui non c’è il premio, la apre mostrando che è vuota e chiede al giocatore se vuole cambiare la sua scelta precedente.
• Conviene cambiare? E in tal caso qual è la probabilità di vittoria seguendo ciascuna strategia (cambiare e non cambiare)?
• Supponiamo che dopo la nostra prima scelta il presentatore non sappia dove si trova il premio ed apra una porta a caso tra le altre due rimaste con il rischio di aprire la porta con il premio. Se la porta che ha aperto è vuota qual è la probabilità di vincere cambiando la nostra scelta iniziale? (Notare la differenza nel comportamento del presentatore rispetto al caso precedente)

Soluzioni:

1. 1/6, 2/9, 1/3

2. 7/15, 3/5, 9/14

3. 4/9

4. 2/3, 2/5, 3/10

5. 2/3, 1/2